Begriffsklärung: Affinität, affine Transformation, affin...

Nib · 23. April 2009, 12:42

Mathe ist bei mir lange her. Aus den Wikipedia-Einträgen bin ich nicht wirklich schlauer geworden. Habe es nur so im Gefühl: Der Begriff "affin" hat immer etwas mit "Annäherung" oder "Näherungswert" zu tun, also mit etwas "ungenauem".

Im Kontext von Mac OS X und das Koordinatensystem, bzw. dessen Transformation: Affine Transformation. Das System ist ja unabhängig von der Displayauflösung. Letztenendes muss ein Punkt in diesem "irre genauen Koordinatensystem" welches Positionen mit Fließkommazahlen angibt auf Pixel umgerechnet werden. D.h. für jeden Punkt in diesem supergenauen Koordinatensystem muss der naheliegenste Punkt in dem groben Koordinatensystem des Displays gefunden werden. Demnach passt ein solcher Punkt auf sehr viele aus dem Mac OS X Koordinatensystem, das auf Fließkommazahlen basiert und unabhängig von der Auflösung ist.

Aber was soll der Begriff "Affine Transformation" genau bedeuten? Verstehe ich die Sache _ungefähr_ richtig, oder bedeutet dieser Begriff was gänzlich anderes?

deconceptional · 23. April 2009, 12:53

Affine transformation: T: x -> Ax + b heisst nichts anderes als das du auf einen Vektor x (der z.b 2D koordinaten auf dem schirm darstellt) eine lineare Abbildung A (z.b. Rotation, Skalieren etc.) anwendest und ihn danach um b verschiebst.

Genauer wird das hier beschrieben: en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation
Und hier noch ein Beispiel wie A aussehen kann: en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

hpm · 23. April 2009, 13:02

Affine Transformationen haben nichts mit dem Mac zu tun.

Es ist ein mathematischer Begriff, der Verzerrrungen von graphischen Objekten (z.B. Quadrat -> Rechteck ->Raute in der euklidischen Ebene) mit Hilfe von linearen Funktionen beschreibt.

Christian Kienle · 23. April 2009, 13:04

Die mathematische Definition sieht grob so aus:

Seien V und W Vektorräume über dem Körper K und f ist genau dann eine lineare Abbildung von V nach W wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Für alle Skalare a aus K und für alle v aus V gilt: f(av) = a f(v)
Und für alle v, v' aus V gilt: f(v + v') = f(v) + f(v').

Im Zusammenhang mit Cocoa sind eigentlich nur Endomorphismen, also lineare Abbildungen für die V = W gilt, interessant und da auch nur insbesondere zwei und dreidim. reelle Vektorräume.

Die Mathematik hinter den Transformationen ist eigentlich recht simpel. Buchemfehlung: Repetitorium der lin. Algebra (Biomiverlag).

hpm · 23. April 2009, 13:23

...meinst Du, dass das dem Fragesteller jetzt geholfen hat???

Nib · 23. April 2009, 13:34

Was die Transformation macht habe ich nun verstanden. Es geht um Vektoren. Nur der Begriff "affin" will mir noch nicht so recht ins Hirn eindringen. Gibt's dazu ein deutsches synonym? Bestimmt so ein ausgefuchstes lateinisches Wort, wa?

hpm · 23. April 2009, 13:54

Affin = verwandt.

Ein Quadrat ist z.B. auch eine Raute mit rechtem Winkel und Seite a= Seite b.
(Parallele Seiten bleiben erhalten)

Lässt Du also eine affine Transformation auf eine Raute los, ist das Ergebnis wieder eine Raute (evtl. entartet).

Ebenso: Ein Kreis ist wird durch eine affine T. evtl. zu einer Ellipse ...

Nib · 23. April 2009, 14:01

Danke hpm. Du solltest Trainer werden. Gut erklärt

hpm · 23. April 2009, 14:04

Meine Vorfahren waren Professoren und Lehrer :-))

Christian Kienle · 23. April 2009, 14:10

Original von hpm
...meinst Du, dass das dem Fragesteller jetzt geholfen hat???

Keine Ahnung. Jedenfalls hilft es mir immer mich an die beiden "Formeln" für lineare Abbildungen zu erinnern, denn diese zeigen ja ganz schön, was "affin" bedeutet. Nämlich, dass das Argument und sein Bild verwandt sind.

hpm · 23. April 2009, 14:22

...stimmt schon,

nur kam mir Deine Erklärung etwas "endomorphistisch" vor.

Als abgewandeltes Zitat: "Was nützt mir eine Erklärung von Objectler, wenn ich, um ihn zu verstehen, genausoviel wissen muss wie er" ?

;-))

Christian Kienle · 23. April 2009, 14:35

Original von hpm
...stimmt schon,

nur kam mir Deine Erklärung etwas "endomorphistisch" vor.

Als abgewandeltes Zitat: "Was nützt mir eine Erklärung von Objectler, wenn ich, um ihn zu verstehen, genausoviel wissen muss wie er" ?

;-))

Sind die beiden Formeln so schwer?

hpm · 23. April 2009, 14:47

Das müsste der Fragesteller entscheiden...

Nib · 23. April 2009, 17:17

Sind die beiden Formeln so schwer?

yep. Ich mag Erklärungen, die man sich bildlich vorstellen kann, lieber

karrade · 23. April 2009, 21:05

Original von Objcler

Original von hpm
...stimmt schon,

nur kam mir Deine Erklärung etwas "endomorphistisch" vor.

Als abgewandeltes Zitat: "Was nützt mir eine Erklärung von Objectler, wenn ich, um ihn zu verstehen, genausoviel wissen muss wie er" ?

;-))

Sind die beiden Formeln so schwer?

das hängt sicher auch davon ab wie schnell man sich von so was abschrecken lässt bzw. wie oft man mit solchen mathematischen Beschreibungen von Dingen zu tun hat.

deconceptional · 23. April 2009, 23:20

Eh, meine Antwort war auch super!